ReFeRaTe4eVeR

DauBine4eVeR · Administrator Data inscrierii: 05/Mar/2009 Mesaje: 65

Mulţimea este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne. Deşi teoria mulţimilor a apărut abia la sfârşitul secolului XIX, aceasta este acum omniprezentă în educaţia matematică, încă din şcoala elementară. Acest articol este o scurtă introducere în ceea ce matematicienii numesc teoria "intuitivă" sau "naivă" a mulţimilor; pentru mai multe detalii vedeţi teoria naivă a mulţimilor. Pentru o consideraţie riguroasă, axiomatică, vedeţi teoria axiomatică a mulţimilor.
Descrierea mulţimilor

[modifică] Descrierea întrebuințând cuvinte sau liste

Nu toate mulţimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecţii arbitrare, fără vreo regulă exprimabilă, care să specifice care anume elemente fac parte dintr-o mulţime.

Unele mulţimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

A este mulţimea primelor patru numere normale .
B este mulţimea culorilor de pe steagul Franţei.

Prin convenţie, o mulţime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

C = {1, 2, 3, 4}
D = {roşu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeaşi mulţime. De exemplu, pentru mulţimile definite mai sus, A şi C sunt identice, deoarece ele au exact aceiaşi membri. Notaţia A = C este uzitată pentru a exprima această egalitate. Analog, pentru mulţimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulţimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezenţa repetiţiilor în listă. De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

[modifică] Descrierea folosind notaţii matematice

Pentru mulţimi mari (cu multe elemente) scrierea întregii liste de elemente conţinute poate deveni nepracticabilă. De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} ar fi, ca listă, foarte greoaie - atât la scris cât şi la citit. Totuşi matematicienii rareori descriu o mulţime de genul E în cuvinte, ca mai sus, preferând să folosească formulări simbolice:

E = {1,2,3,...,1000}

Pentru a descrie o mulţime de genul mulţimii E se poate folosi uneori şi o listă abreviată, unde elementele specificate urmează un şablon (un model, o schemă) evident cititorului. Faptul că se foloseşte o abreviere este atunci indicat explicit prin simbolul "..." (trei puncte).

Când se foloseşte această notaţie, trebuie avut grijă să se indice suficiente elemente pentru a face clar şablonul. De exemplu, următoarea mulţime ar putea să reprezinte, în funcţie de context, atât primele şaisprezece numere întregi, cât şi primele cinci puteri ale lui doi (cât şi alte mulţimi), fiind deci neclară (neunivocă):

X = {1,2,...,16}

Un alt pericol apare dacă proprietatea definitorie implică un şablon mai puţin evident, în care cazuri listele abreviate chiar trebuie evitate. De exemplu, definiţia (derutantă)

F = { − 4, − 3,0,...,357}

ar putea fi doar cu greu interpretată drept identică cu definiţia (clară)

F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect},

şi în plus chiar şi această ultimă definiţie ar putea fi falsă, fiindcă numărul de reguli care să producă mulţimea F de mai sus este nesfârşit (infinit).

În întocmai condiţii, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a membrilor mulţimii folosind o notaţie matematică. De exemplu:

F = \{n^2 - 4\ |\ n \in \Z, 0 \le n \le 19\}

În această descriere, bara verticală ("|") se citeşte cu proprietatea că (sau astfel încât). În loc de bara verticală se mai poate utiliza şi simbolul două puncte (":"). Formula de mai sus se citeşte:

F este mulţimea numerelor de forma n2 − 4, unde n este un număr întreg cuprins între 0 şi 19 inclusiv.

Evident că se poate forma şi o listă explicită, completă, a conţinutului (a membrilor) lui F, prin evaluarea expresiei n2 − 4 pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

[modifică] Apartenenţa la mulţime

Conceptul care descrie dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulţimi (altfel spus, dacă îi aparţine sau nu) este notat cu simbolurile \in şi respectiv \notin. Astfel, considerând mulţimile definite mai sus:

* 4 \in A şi 285 \in F (deoarece 285 = 17² − 4); dar
* 9 \notin F şi "verde" \notin B.

[modifică] Cardinalitatea unei mulţimi

Articol principal: Cardinal (matematică)
Cardinalitatea, numită şi "puterea" unei mulţimi, desemnează bogăţia ei de membri. Fiecare mulţime descrisă mai sus are un număr bine definit şi finit de membri; de exemplu mulţimea A de mai sus are patru membri, pe când mulţimea B are trei membri. La mulţimile finite, cardinalitatea este chiar numărul respectiv de membri. Cardinalitatea mulţimilor se notează punând mulţimea între bare verticale, de exemplu | B | .

O mulţime poate avea şi zero membri (nici un membru). O astfel de mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată prin simbolul \empty.

O mulţime poate avea însă şi un număr infinit de mare de membri; de exemplu, mulţimea tuturor punctelor (idealizate) de pe o linie (idealizată şi ea); mulţimea tuturor numerelor iraţionale. În ceeace priveşte bogăţia lor de membri, se află mai multe soiuri de mulţimi infinite (de infinituri), anume unele mai bogate şi altele mai puţin bogate în membri.

Pentru compararea cardinalităţilor ale 2 mulţimi infinite, în loc de a încerca să se numere întâi separat membrii lor şi apoi să se compare rezultatele, se foloseşte metoda "împerecherii" membrilor lor: se cercetează dacă poate fi găsită măcar o singură corespondenţă biunivocă între cele 2 mulţimi atunci când ele se iau membru cu penis (altfel spus, dacă există o "funcţie bijectivă" sau o bijecţie între cele 2 mulţimi), sau dacă nu cumva în una din cele 2 mulţimi de comparat, pe urmă absolut orice încercare de "împerechere" pe baza unei reguli, persistă totuşi întotdeauna un surplus de membri ne-împerecheaţi. În acest caz mulţimea cu surplusul are o cardinalitate (putere) mai mare decât cealaltă.

Au fost dovedite următoarele proprietăţi neaşteptete ale mulţimilor infinite:

* Există o cea mai "mică" mulţime infinită. Este vorba de indiferent ce parte infinită din mulţimea numerelor naturale. Cardinalitatea ei se notează cu \aleph_0 , care se citeşte "alef zero", \aleph (alef) fiind întâia literă din alfabetul ebraic. Astfel de mulţimi se numesc "numărabile", căci sunt echipotente cu mulţimea numerelor naturale 1, 2, 3,... . Reunind 2 mulţimi infinite de putere \aleph_0 , rezultă o mulţime infinită tot de tărie \aleph_0 . Exemple concrete de mulţimi infinite cu cardinalitatea \aleph_0 : toate numerele prime; toate numerele impare; toate numerele raţionale.
* O mulţime infinită cu puterea mai mare decât \aleph_0 este de exemplu mulţimea punctelor de pe o linie, sau şi mulţimea punctelor dintr-un patrat, aceste două mulţimi fiind echipotente. Puterea lor se notează cu litera \aleph (alef) sau şi cu un \mathfrak c (c gotic). Această notaţie provine de la cuvântul latin "continuum". Astfel de mulţimi se mai numesc şi "de eficacitatea continuului".
* S-a dovedit că nu se poate deduce dacă există sau nu mulţimi cu puterea situată între \aleph_0 şi \mathfrak c. Altfel spus, sunt permise ambele ipoteze: atât ipoteza continuului, cât şi contrara acesteia.
* Tăria care urmează după \mathfrak c o are de exemplu mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de vigoare \mathfrak c. Această putere se notează cu \mathfrak f (f gotic).
* O putere şi mai mare o are mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de putere \mathfrak f.
* În felul acesta se pot construi (mental) mulţimi infinite cu puteri din ce în ce mai mari, lipsit de o limită superioară.

Cercetările cele mai recente experimentează să găsească o abia apărută axiomă independentă de sistemul de axiome ZFC care, adăugată la sistemul ZFC, rezolvă problemele actuale legate de ipoteza continuului. Există deja 2 candidaţi pentru o astfel de axiomă nouă, numiţi unul Projective Determinacy (PD) şi celălalt Woodin's Martin's Maximum (WMM). Conform acestora se pare că ipoteza continuului este falsă, deci ar exista o cardinalitate, probabil chiar una singură, situată între \aleph_0 şi \mathfrak c.

[modifică] Submulţimi
A este o submulţime a lui B.

Dacă fiecare membru al mulţimii A este şi membru al mulţimii B, atunci A se spune că este submulţime a lui B, şi se scrie că A \subseteq B, citit şi A este inclus în B. Echivalent, putem scrie B \supseteq A, citit B include A, sau B conţine A. Relaţia dintre mulţimi stabilită de \subseteq se numeşte incluziune sau conţinere.

Dacă A este o submulţime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numeşte submulţime proprie a lui B, ceea ce se scrie A \subset B sau B \supset A. Totuşi, în literatură aceste simboluri se cutesc la fel ca \subseteq şi \supseteq, deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite \subsetneq şi \supsetneq şi pentru incluziunea strictă.

Exemple:

* Mulţimea tuturor partenerelor este o submulţime a mulţimii tuturor oamenilor.
* {1,3} \subset \ {1,2,3,4}
* {1,2,3,4} \subseteq \ {1,2,3,4}

Mulţimea vidă este o submulţime a tuturor mulţimilor şi orice mulţime este o submulţime a ei însăşi:

* \emptyset \subseteq A
* A \subseteq A

[modifică] Mulţimi speciale

Există unele mulţimi care au atât de mare importanţă matematică şi sunt referite atât de des încât ele au obţinut nume şi notaţii simbolice speciale, pentru a se opera mai uşor cu ele. Una din astea este mulţimea vidă \empty. Alte mulţimi excepționale de numere sunt:

* \mathbb{N} reprezintă mulţimea tuturor numerelor naturale. Adică \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...}, sau uneori \mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}.
* \mathbb{Z} constituie mulţimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci \mathbb{Z} = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
* \mathbb{Q} înseamnă mulţimea tuturor numerelor raţionale (adică mulţimea tuturor fracţiilor proprii şi improprii). Astfel, \mathbb{Q} = \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}. De exemplu, \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q} şi \begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}. Toţi întregii sunt în această mulţime pentru că fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracţia \begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}.
* \mathbb{R} reprezintă mulţimea tuturor numerelor reale. Aceasta conține toate numerele raţionale, laolaltă cu toate numerele iraţionale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracţii, cum ar fi π, e şi \sqrt 2 ).
* \mathbb{C} este mulţimea tuturor numerelor complexe.

Se observă că \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}; toate aceste mulţimi au un număr infinit de membri, dar cardinalităţile lor sunt diferite:

|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0, care este mai mic decât \mathbb|{R}| = |\mathbb{C}| = \mathfrak c.

[modifică] Reuniunea
Reuniunea lui A şi B.

Există mai numeroase moduri de a construi o mulţime inedită din alta sau altele deja existente. Două mulţimi pot fi "adunate". Operaţia, numită "reuniunea" lui A cu B şi notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.

Exemple:

* \{1, 2\} \cup \{alb, galben\} = \{1, 2, alb, galben\}
* \{1, 2, verde\} \cup \{alb, galben, verde\} = \{1, 2, alb, galben, verde\}
* \{1, 2\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2\}

Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:

* A \cup B = B \cup A
* A \subseteq A \cup B
* A \cup A = A
* A \cup \empty = A

[modifică] Intersecţia
Intersecţia lui A şi B.

O nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care două mulţimi date îi au în comun. "Intersecţia" dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor (membrilor) care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte (fără membri comuni).

Exemple:

* \{1, 2\} \cap \{alb, galben\} = \empty
* \{1, 2, galben\} \cap \{alb, galben, verde\} = \{galben\}
* \{1, 2\} \cap \{1, 2\} = \{1, 2\}

Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:

* A \cap B = B \cap A
* A \cap B \subseteq A
* A \cap A = A
* A \cap \empty = \empty

[modifică] Complementarea
Complementul relativ al lui A faţă de B.

Două mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa dintre mulţimile B şi A), notat B − A (sau şi B \ A), este mulţimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulţimea {1,2,3}; doar că această operaţie nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numeşte complementul absolut (faţă de U), sau pur şi simplu complementul lui A, şi este notat cu A′.

Exemple:

* \{1, 2\} \setminus \{3, negru\} = \{1, 2\}
* \{1, 2, galben\} \setminus \{alb, galben, negru, verde\} = \{1, 2\}
* \{1, 2\} \setminus \{1, 2\} = \empty
* Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este mulţimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O: E^{\,\prime} = O.

Proprietăţi de bază ale complementelor:

* A \cup A^\prime = U
* A \cap A^\prime = \empty
* (A^\prime)^\prime = A
* A \setminus A = \empty
* A \setminus B = A \cap B^\prime